Arquimedes 287 a.C. – 212 a.C.

Arquimedes, filho do astrônomo Fídeas, era nativo de Siracusa, na Sicília. Há relatos de sua visita ao Egito, onde inventou um sistema de bombeamento chamado Parafuso de Arquimedes, em uso ainda hoje.

Há indícios muito fortes de que em sua juventude, Arquimedes tenha estudado com os sucessores de Euclides, em Alexandria. Com certeza ele era completamente familiarizado com a Matemática lá desenvolvida, conhecendo pessoalmente os matemáticos daquela região. Ele mesmo mandava alguns de seus resultados para Alexandria com mensagens pessoais.

No prefácio de Sobre espirais Arquimedes nos conta uma história curiosa acerca de seus amigos em Alexandria. Ele tinha o hábito de mandar o texto de seus últimos teoremas, mas sem as demonstrações. Aparentemente alguém em Alexandria estava roubando os resultados de Arquimedes e afirmando que eram seus. Na última vez que fez isso, enviou dois resultados falsos.

…aqueles que afirmam descobrir tudo, mas não produzem provas de suas afirmações, podem estar enganados fingindo descobrir o impossível.

De fato, existem inúmeras referências a Arquimedes nos escritos de sua época, dada a reputação quase sem par que ele ganhou neste período. Curiosamente a razão para isso não era um interesse generalizado em Matemática, mas sim nas máquinas que inventou para serem usadas na guerra. Estas armas foram particularmente eficientes na defesa de Siracusa contra os Romanos, liderados por Marcelo.

Escreve Plutarco

…quando Arquimedes começou a manejar suas máquinas, ele de uma só vez atirou contra as forças terrestres todos os tipos de mísseis, e imensas massas de rocha que caíram com barulho e violência inacreditáveis, contra as quais nenhum homem poderia resistir em pé.

Outras invenções de Arquimedes, como a polia composta, também colaboraram para que sua fama se perpetuasse. Novamente citando Plutarco:

[Arquimedes] afirmou [em uma carta ao Rei Hierão] que, dada uma força, qualquer peso poderia ser movido, e até mesmo se gabando, disse que se houvesse outra Terra, esta poderia ser movida. Hierão maravilhou-se com isto e pediu uma demonstração prática. Arquimedes tomou um dos navios da frota do rei – que não podia ser movido a não ser por muitos homens – carregou-o com muitos passageiros e lotou-o de carga. Arquimedes colocou-se a distância e puxou as polias, movendo o navio em linha reta suavemente, como se estivesse no mar.

Mesmo tendo Arquimedes obtido fama por suas invenções mecânicas, ele acreditava que a Matemática em sua forma mais pura era a única coisa que valia a pena.
As conquistas de Arquimedes são de tirar o fôlego. Ele é considerado por muitos historiadores como um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Ele chegou a aperfeiçoar um método de integração que permitia calcular áreas, volumes e áreas de superfícies de muitos corpos.

Arquimedes foi capaz de aplicar o método da exaustão, que é uma forma primitiva de integração, para obter uma vasta gama de resultados importantes, alguns dos quais chegaram até os dias de hoje.
* O tratado Sobre equilíbrios planos aborda os princípios fundamentais da mecânica, usando métodos geométricos. Arquimedes descobriu teoremas fundamentais a respeito do centro de gravidade de figuras planas, todos constantes deste trabalho. Em particular ele encontra, no livro 1, o centro de gravidade do paralelogramo, do triângulo e do trapézio.
* O livro 2 é inteiramente devotado a encontrar o centro de gravidade de um segmento de parábola. Na Quadratura da parábola Arquimedes encontra a área de um segmento de parábola formado pelo corte de uma corda qualquer.
* No primeiro volume de Sobre a esfera e o cilindro Arquimedes mostra que a superfície de uma esfera é quatro vezes a do grande círculo, acha a área de qualquer segmento da esfera, mostra que o volume de uma esfera é dois terços do volume do cilindro circunscrito, e que a superfície da esfera é dois terços da superfície do cilindro circunscrito, incluindo-se as bases.
* Em Sobre espirais Arquimedes define uma espiral e estabelece as propriedades fundamentais relacionando o comprimento do vetor raio com os ângulos de revolução que geram as espirais. Ele também apresenta resultados sobre tangentes às espirais, bem como demonstra como calcular áreas de partes da espiral.
* Em Sobre conóides e esferóides Arquimedes examina os parabolóides de revolução, hiperbolóides de revolução e esferóides obtidos pela rotação de uma elipse em torno de um de seus eixos.
* Sobre corpos flutuantes é o trabalho onde Arquimedes estabelece os princípios básicos da Hidrostática. Seu teorema mais famoso – que dá o peso de um corpo imerso em um líquido – chamado Princípio de Arquimedes, consta deste trabalho.
* Em Medidas do círculo Arquimedes mostra que o valor exato de “pi” situa-se entre 3¹⁰/₇₁ e 3¹/₇. Ele obteve este resultado circunscrevendo e inscrevendo um círculo com polígonos regulares com 96 lados!

Um problema preocupava Hierão, tirano de Siracusa, no século III a.C.: havia encomendado uma coroa de ouro, para homenagear uma divindade, mas suspeitava que o ourives o enganara, não utilizando ouro maciço em sua confecção. Como descobrir, sem danificar o objeto, se seu interior continha uma parte feita de prata? Só um homem talvez conseguisse resolver a questão: seu amigo Arquimedes, famoso matemático e inventor de vários engenhos mecânicos. Hierão mandou chamá-lo e pediu-lhe urna resposta que pusesse fim à sua dúvida. Arquimedes aceitou a incumbência e pôs-se a procurar a solução para o problema. Esta lhe ocorreu durante o banho. Observou que a quantidade de água que se elevava na banheira, ao submergir, era equivalente ao volume de seu próprio corpo. Ali estava a chave para resolver a questão proposta pelo tirano. No entusiasmo da descoberta, Arquimedes saiu nu pelas ruas, gritando: Eureka! Eureka! (“Achei! Achei!”).

Agora, bastava aplicar o método que descobrira. Mediu então a quantidade de água que transbordava de um recipiente cheio, quando nele mergulhava, sucessivamente, o volume de um peso de ouro igual ao da coroa, o volume de um peso de prata igual ao da coroa e o volume da própria coroa. Este, sendo intermediário aos outros dois, permitia determinar a proporção de prata que fora misturada ao ouro.

Essa passagem parece ser uma das muitas lendas que, desde a Antiguidade, envolveram a vida de Arquimedes. Na verdade, para resolver um problema daquele tipo, relativo à determinação do peso específico de um metal, ele precisava apenas aplicar o princípio que rege o fenômeno do empuxo (força vertical que empurra para cima um corpo imerso em um fluido). Esse princípio – que explica porque um navio flutua na água e porque um aeróstato sobe no ar – foi estabelecido por Arquimedes nos seus dois livros, Sobre os corpos flutuantes, com os quais inaugurou um novo ramo da ciência física: a hidrostática. No primeiro daqueles dois livros, ele enuncia o princípio que se tornou conhecido como “princípio de Arquimedes”: “Um sólido mais pesado que o fluido em que está imerso vai para o fundo do fluido, e se é pesado dentro do fluido ele será mais leve que seu verdadeiro peso, de um peso igual ao fluido deslocado”.

Entretanto, essa conclusão não era, de modo algum, fruto de um súbito “estalo”. Representava o coroamento de uma longa tradição científica que, desde o século VI a.C., desenvolvera as pesquisas matemáticas e buscava uma explicação racional para os diferentes fenômenos observados. A glória de Arquimedes consistiu, porém, em não apenas fazer avançar as matemáticas abstratas – ampliando as conquistas dos grandes matemáticos do passado, como Pitágoras, Tales, Árquitas de Tarento, Eudoxo e Euclides -, mas em ser igualmente um grande físico, engenheiro e técnico genial: inventava e fabricava aparelhos destinados às suas próprias pesquisas, e criava inclusive máquinas de guerra temíveis por sua eficácia. Representando o apogeu da ciência grega, é considerado o precursor do método experimental nas ciências fisico-matemáticas.

Filho do astrônomo Fídias, Arquimedes nasceu em 287 a.C., em Siracusa, na Sicília, que então fazia parte da Grécia ocidental ou Magna Grécia. Embora os dados fantasiosos permeiem todos os informes sobre sua vida, parece certo que estudou em Alexandria (Egito), um dos grandes centros culturais da época. Ali teria conhecido Euclides, já velho, e seus discípulos imediatos; e o matemático Canon de Samos, de quem se tornou amigo. Não é certo, porém, que ali tivesse criado o chamado “parafuso de Arquimedes”, empregado para retirar água das minas do Egito. Na verdade, esse aparelho já existia, ao que parece, há bastante tempo, sendo utilizado para tirar água do Nilo.

Reduzindo o equilíbrio de forças a um simples problema geométrico, estudou o equilíbrio dos sólidos, o funcionamento da alavanca e o movimento dos corpos celestes, além de ter organizado uma coleção – a mais completa da Antiguidade – de figuras planas com os centros de gravidade perfeitamente localizados. Além disso, também procurava utilidades práticas para suas descobertas. Extraordinário engenheiro, construiu, segundo depoimento de Cícero (106 – 43 a.C.), um planetário que reproduzia os diferentes movimentos dos corpos celestes; e um aparelho para medir as variações do diâmetro aparente do Sol e da Lua, um protótipo do modelo, mais requintado, que será construído pelo astrônomo Hiparco, no século II a.C.

Atribui-se ainda a Arquimedes a idealização dos célebres “espelhos ustórios” (ustório = que queima, que facilita a combustão), espelhos curvos com os quais os defensores de Siracusa teriam queimado a distância – pela concentração dos raios solares – os navios romanos que sitiavam a região. Se tal fato pertence ao lado lendário de sua biografia, parece entretanto não haver dúvida de que Arquimedes, depois de colaborar com seus engenhos bélicos para a defesa de sua cidade natal, foi morto durante o massacre que se seguiu à tomada de Siracusa pelo cônsul romano Marco Cláudio Marcelo, em 212 a.C. Atendendo a um pedido do sábio, foi colocada em seu túmulo uma coluna na qual fora gravado um cilindro circunscrito a uma esfera, para comemorar a maneira pela qual calculou a área de uma superfície esférica.

Segundo consta, Arquimedes teria dito a Hierão: “Deem-me um ponto de apoio e eu levantarei a Terra”. Não era a pretensão de se comparar ao mitológico e super humano Héracles – que os romanos chamarão de Hércules -, divindade símbolo da força. Era a certeza matematicamente garantida – de que o princípio da alavanca, que ele havia estabelecido, representava extraordinário recurso prático para a multiplicação de uma força.

Tradicionalmente, a geometria grega vinha investigando processos de transformação de figuras curvas em retas, equivalentes. A quadratura do círculo, por exemplo, constituía um problema que vários matemáticos procuraram resolver. Arquimedes dedicou-se profundamente a esse tipo de questão – e um dos seus principais livros sobre Matemática intitulou-se justamente Tratado da quadratura da parábola.

A transformação do curvilíneo em retilíneo é feita por Arquimedes através do chamado método “de exaustão”. Se um triângulo é inscrito num círculo, sua área é tão claramente menor que a do círculo quanto a do triângulo circunscrito é maior. No entanto – eis o procedimento adotado por Arquimedes – multiplicando-se o número de lados dessas figuras, as áreas dos polígonos formados, inscritos e circunscritos, já se aproximam mais da área do círculo. E com o multiplicar sucessivo dos lados, os polígonos assim formados apresentam áreas que crescem (para os inscritos) e diminuem (para os circunscritos), aproximando-se da do círculo, embora nunca coincidam com ela.

Arquimedes conseguiu ir multiplicando o número de lados dos polígonos até obter figuras de 96 lados; verificou que as áreas respectivas, apesar de cada vez mais próximas do círculo, eram sempre um pouco maiores ou um pouco menores. Havia aqui também um procedimento que subentendia a aproximação de um valor exato – a área do círculo; esta era um “limite” a ser atingido, uma “justa medida” que só permitia abordagens aproximadas.

O que estava implícito nesse método de resolução de um problema geométrico era – como no caso do estabelecimento do valor de “pi” – a existência de valores infinitesimais, que justificavam a gradativa variação de tamanhos e grandezas. Aqui também Arquimedes antecipa conquistas que a Matemática só efetivará plenamente no final do século XVII, com o cálculo infinitesimal de Leibniz e Newton.

A liberdade não era, porém, patrimônio de todos os gregos. Muitos eram escravos e, por isso, destituídos do direito de cidadania. O filósofo Aristóteles chega a afirmar que para alguns a escravidão era um fato natural e inerente à natureza dos indivíduos que, não possuindo certas capacidades. intelectuais de raciocínio abstrato (a “alma poética” para os gregos), deviam, como escravos, se ocupar apenas de atividades manuais.

Esse preconceito que, com raras exceções, era generalizado na sociedade escravista dos gregos, não poderia deixar de repercutir, além do campo propriamente político, no desenvolvimento da investigação científica e filosófica. O menosprezo pelas atividades manuais, exercidas por homens sem liberdade, foi certamente o fator decisivo para restringir a ciência grega ao nível quase exclusivamente teórico e para impedir o desenvolvimento da experimentação. A ciência deveria ser fruto do intelecto de homens livres e, portanto, capazes de especulação – e não o resultado de simples manipulações e experiências.

Poucos escaparam às limitações desse modo de pensar, que criava obstáculos à verificação empírica e bloqueava o campo das aplicações práticas dos conhecimentos teóricos. O próprio Arquimedes pagou tributo, ao que parece, a esse preconceito de natureza socioeconômica. Embora precursor do moderno método experimental, e apesar de ter sido o maior engenheiro da Antiguidade, também ele considerava como suprema realização da inteligência humana as verdades científicas abstratas – que as matemáticas formulavam plenamente. Conta Plutarco que, quando solicitado a escrever um manual de engenharia, Arquimedes se negou, alegando que “considerava o trabalho de engenheiro, assim como tudo o que dissesse respeito às necessidades da vida, como algo sem nobreza e vulgar”. Ele desejava que sua fama diante da posteridade fosse fundada inteiramente em sua contribuição à teoria pura. O que glorificou seu nome, entretanto, mais do que o cálculo de “PI” por aproximações sucessivas, foi o princípio fundamental da hidrostática, a que ele chegara pela mais simples observação da realidade.
Arquimedes foi morto em 212 A.C. durante a captura de Siracusa pelos Romanos na segunda guerra Púnica. Depois de todos os seus esforços para manter os romanos na baía com as suas máquinas de guerra, estes invadiram Siracusa, não impedido o estudioso de ficar refletindo sobre um problema geométrico que traçava na areia, não se apercebendo desta invasão. Apresentou-se lhe um soldado dando-lhe ordem de que o acompanhasse a casa de Marcelo, ele porém ignorou-o, irritando o soldado fazendo com que este o matasse com a sua espada.

O conselho do Senhor é para aqueles que o temem, e ele lhes faz saber o seu pacto.

Salmos 25:14